数字推理题技巧
数学解题思路
1.想数码
例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1比较1222×1222和1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
知1222×1222＞1221×1223
例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348，乙数是34。
例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
142857×3＝428571。
3.从较大数想起
例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法
思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6＋5；
取7有7＋4，7＋5，7＋6；
…………………………………………
取10有九种10＋1，10＋2，……10＋9。
共为1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
0，0.5，1，1.5，2。
从得数出发，想：
两个相同数的差，等于0；
一个数加上或减去0，仍等于这个数；
一个因数是0，积就等于0；
0除以一个数(不是0)，商等于0；
两个相同数的商为1；
1除以0.5，商等于2；……
解法很多，只举几种：
(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0
(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16－1＝15，
15－1＝14或16－2＝14。
若先求第一个数，则
思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
知是15、16。
思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三个数，则
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数
例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为10000－841＝9159。
或者59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
为了减少计算。应注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢
1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2求59～199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为10000－841＝9159。
或者59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么M×N＝P×a×P×b。
而Q＝P×a×b，
所以M×N＝P×Q。
例1甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少
例2已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想份数
10巧用分解质因数
例1四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
例2三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18
1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11
例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲数是45，乙数是36。
例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
例7600有多少个约数
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
2、22、23；
3；
5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
数学解题技巧
有些同学问我：曹双双，你数学怎么做得这么快啊，而且正确率也挺高的，有什么技巧吗。
记得在一二年级的时候，其实我做数学作业挺慢的，为此我老爸整天有种恨铁不成钢的感觉。但慢慢慢慢地速度越来越快了，而且质量也提高了，嘿嘿，我还真有自己的小窍门……其实说穿了也没什么，无非是两点，第一、多练习；第二、多思考，多想想这道题还有没有别的更简单、更快捷的方法可以解答。先说说第一点：多练习。熟话说“勤能补拙、贵在坚持”，这方法是最简单也是最有效的。多练习不仅可以温故而知新，还可以锻炼速度。你可以人为的给自己设置“门槛”，从一开始的五分钟一题慢慢到十分钟三题再……逐渐缩短每道题占用的时间，长期坚持下来，速度就自然而然提高了，你觉得呢？再说说第二点吧：多思考。每做完一道有一定挑战性的题目，事后一定要注意总结思考，看看能否探索出一种更简单、更快捷的方法来解答，这样坚持不懈地做下去，考试的时候你就能比别的同学节省大量的时间用来复查试卷，提高得分率。俗话说：条条大路通罗马，你还别说，这方法挺好的，呵呵，成功的路不止一条啊。这是我老爸特意教给我的，美其名曰“举一隅而反三隅”。
刚开始的时候，我并不在意这种方法，还是象勤劳的小蜜蜂、孺子牛一样，吭哧吭哧地用着一力降十会的方法挥霍着大把的时间解题。俺老爸注意到后你猜他是怎么做的？他老人家从大处着眼，小处着手和我玩起了“算24点”，于是小小的扑克牌、汽车牌照…一切带数字的东东都成了我们的道具，一种解法、两种解法……
从此乐此不疲啊，唉，还是俺老爸的技术含量高啊！佩服，佩服！回过头来再想想，其实真正说起来，数学并不难，难的是，你对她是接受还是排斥，一旦产生了兴趣一切都迎刃而解，而且所有的学科都是如此，同学们，你说对吗
